Funciones de Variable Compleja (FVC)

Dada la serie

¿Para qué valores de z converge? 

Analizaremos la convergencia absoluta, condicional, y comportamiento en la frontera.

o  Conviene comenzar analizando convergencia absoluta, es decir  considerar la serie

usando el criterio del cociente (también se puede usar el criterio de la raíz):

Por lo tanto cuando |z-1|<1, la serie converge absolutamente (con y sin módulo).

Si |z-1|>1 , la serie diverge absolutamente.

Si |z-1|=1, el criterio del cociente no asegura convergencia (ni divergencia), es la frontera de la región de convergencia.

o  Si |z-1|>1, ya sabemos que la serie diverge absolutamente. ¿Podrá converger (sin poner módulo de cada término)?

Si vemos la condición necesaria, en módulo:

luego sin módulo este límite no puede ser nulo (propiedad 4, pag.35).

      No cumple condición necesaria.

Por lo tanto la serie diverge (con y sin módulo) para |z-1|>1.

o  Para analizar  la frontera,  |z-1|=1, podemos tomar un punto genérico que esté en la frontera.

Por lo tanto,  parametrizamos la frontera (que es una curva conocida)

 ,

y  reemplazamos en la serie

y nos queda una nueva serie en función de un parámetro que representa a la serie dada restringida a un punto de la frontera.

Primero veamos si la convergencia de esta serie es absoluta (estamos en la frontera):

 ,

queda la serie armónica, luego diverge absolutamente en la frontera.

¿pero puede converger condicionalmente?

Usando el criterio de Dirichlet (pag.36):

      

considerando

que es monótona decreciente y tiene límite cero,  y

 

que tiene sumas parciales acotadas si

         

ó

       ,

pues resulta una suma geométrica de razón

y usando la expresión para la suma parcial de una serie geométrica
es posible acotarla por un número independiente de la cantidad de términos que se sume

 

Por lo tanto la serie converge condicionalmente en la frontera, excepto en el punto z = 1-i.

Si se reemplaza ese valor de z en la serie:

 

 resulta nuevamente la serie armónica, luego en ese punto la serie diverge.

 

•   Converge absolutamente en |z-1|<1

•   Diverge  en |z-1|>1 y z  = 1-i

• Converge condicionalmente si |z-1|=1 y z ≠ 1-i

Cualquier consulta o sugerencia dirigirla a esta dirección.
Última modificación: 03-10-2019