Funciones de Variable Compleja (FVC)

(Código DAE 5654)

2º. cuatrimestre 2017


Profesor:    Guillermo Calandrini (mail)

Asistente: Franco Gentili

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Conv. Uniforme E. Galois Impropias Param. Campo Electrico

Con integrales que dependen de algún parámetro, es decir integrales paramétricas, se pueden definir funciones de manera similar a cuando  usamos series de funciones (ver conv. Unif)). Estas funciones tienen como dominio de definición a la región de convergencia.

Ejemplos de Integrales Impropias Paramétricas y Convergencia Uniforme:

Al integrar una función, continua o continua a tramos siempre se suaviza y resulta continua. Pero esto no pasa siempre con las integrales Impropias que dependen de parámetros, como se ve en los siguientes ejemplos:

i)          Observe la discontinuidad de la siguiente función definida por medio de una integral impropia:

  

En el gráfico,  las curvas en azul corresponden a las integrales  .

La animación corresponde a variar b.

Cuando b tiende a infinito las curvas azules se acercan a la curva roja que corresponde a la integral impropia: .

 

 

Otro ejemplo lo muestra la siguiente integral impropia que también converge a una función discontinua:

 

ii)        ¿se pueden intercambiar integrales y derivadas? Si volvemos al ejemplo de la función G, se puede afirmar que: ¿?

 

Si bien G  tiene derivada nula en todo punto excepto el origen donde no es derivable, cambiando el orden,  primero derivamos y luego integramos, es decir nos queda la integral ,  esta última diverge para casi todo .

iii)      En cambio para .

 

 

 

 

coincide si derivamos la función F o si primero derivamos y luego integramos. En este caso vale intercambiar integrales y derivadas. Esto está directamente relacionado con la convergencia uniforme.

 

Ver en la guía los Teoremas 14 15 y 16, sobre continuidad, integración y derivación de funciones definidas por medio de integrales impropias.

 

.

 

Cualquier consulta o sugerencia dirigirla a esta dirección.
Última modificación: 22-08-2017