Programa de la materia
PROGRAMA SINTÉTICO:
- Integrales Impropias.
- Funciones de una variable compleja.
- Integral en el campo complejo.
- Series de Potencias.
- Transformaciones Conformes.
- Transformada de Laplace.
- Series de Fourier. Transformada de Fourier.
- Transformada Zeta.
PROGRAMA ANALÍTICO:
1. Integrales impropias
Definición. Criterios de convergencia. Integrales que dependen de un parámetro. Convergencia uniforme. Criterio de Weierstrass. Integración y derivación de una función definida por una integral impropia.
2. Funciones de una variable compleja
Números complejos. Operaciones fundamentales. Geometría del plano complejo. Rectas y circunferencias. Introducción del punto al infinito. Esfera de Riemann. Funciones de una variable compleja. Límites. Continuidad. Diferenciabilidad. Funciones analíticas. Ecuaciones de Cauchy Riemann.
3. Integral en el campo complejo
Definición. Propiedades. Teoría de la integral de Cauchy. Teorema de Cauchy y consecuencias. Fórmulas integrales de Cauchy. Estimaciones de Cauchy para el módulo de las derivadas. Teorema de Liouville. Teorema de Morera.
4. Series de Potencias
Desarrollos en series de Taylor. Círculo de convergencia. Series de Laurent. Puntos singulares de una función. Noción de función multiforme. Singularidades aisladas. Clasificación. Residuos. Teorema de los residuos. Cálculo de integrales.
5. Transformaciones en el plano complejo
Estudio geométrico de las transformaciones elementales: lineal, inversión, bilineal, potencias, logaritmos y trigonométricas. Transformación conforme. Invarianza de las funciones armónicas respecto a las transformaciones conformes. Aplicaciones.
6. Transformada de Laplace
Definición. Propiedades. Convergencia. Cálculo de transformadas. Teoremas fundamentales. Transformada inversa. Aplicación a la resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Convolución. Funciones impulsivas. Desarrollos de Heaveside. Transformadas de funciones periódicas. Utilización de variable compleja para obtener transformadas inversas por fórmulas integrales.
7. Series de Fourier
Funciones ortogonales. Conjuntos de funciones ortonormales. Sistemas completos. Desarrollos en serie de Funciones ortonormales. Coeficientes de Fourier. Aproximación en media cuadrática. Desigualdad de Bessel. Igualdad de Parseval. Convergencia de las series de Fourier trigonométricas.
8. Integral de Fourier
Forma compleja de la serie de Fourier. Integral de Fourier. Convergencia. Transformada de Fourier. Convolución. Aplicaciones.
9. Transformada Zeta
Definición. Propiedades. Convergencia. Cálculo de transformadas. Transformada inversa. Aplicación a la resolución de ecuaciones en diferencias.